利用高斯公式证明阿基米德浮力定律
来源：百度经验 作者：techid 时间：2022-05-26
导读：
阿基米德浮力定律一开始是由阿基米德通过无数次的实验得出的：浸在液体里的物体受到向上的浮力，浮力大小等于物体排开液体所受重力。这个定律的证明其实并不难：我们用p(r)表示液体在不同位置的压强，它是关于位置r的函数。这里我们仅讨论各向同性的液体（如
阿基米德浮力定律一开始是由阿基米德通过无数次的实验得出的：浸在液体里的物体受到向上的浮力，浮力大小等于物体排开液体所受重力。这个定律的证明其实并不难：我们用p(r)表示液体在不同位置的压强，它是关于位置r的函数。这里我们仅讨论各向同性的液体（如水，在各个方向上性质相同），那么p(r)是个标量。而浮力实际上就是液体对物体的总压力（液体对物体表面的压力的合力），F浮=∫∫p(r)ds（压强关于面积的积分），此处不好用高斯定理或者stokes定理（因为p(r)是标量且是面积和体积之间的关系），所以用一个高斯定理的一个推论：Φ(x,y,z)=Φ(r)为可微的三维的点函数，则存在下列面积分和体积分的关系：=∫∫Φds=∫∫∫▽(Φ)dV.(即面积的积分等于梯度的体积分)。则F浮=∫∫∫▽(p)dV在来看液体压强的形成：液体的内压强是由上层液体的重量引起的，对于均匀的流体，不难由以一为单位面积为底柱体中的液体重量得到在r=(x,y,z)处的压强p(r)=r(x,y,z)=ρg(h-z)，其中ρ,h,g分别为液体的密度，液面高度和重力加速度。把压强公式代入即得：F=ρg∫∫∫dV=ρgV，由此即得阿基米德定律。当然，这个结论把地球想象成了平的，在地球为类球形的情况下，阿基米德定律是存在一定的误差的，当流体的体积过大时。
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